まず、浮気相手が未成年者の場合、その未成年者に慰謝料請求をして、本人が「支払います」と言っても、それは有効にはなりません。
法律的な話になりますが、未成年者は単独で法律行為をすることはできません。
法律行為とは、例えば、今回のように慰謝料を支払うとか、契約書にサインをするなどといったことがこれに該当します。
未成年者が通販で買い物をするときに、「未成年者は保護者の署名押印が必要です」みたいなものを見たことがありませんか？
それは、法的に有効な契約にするためです。
以上のことから、浮気相手が未成年者の場合、慰謝料請求の通知書は、その両親宛ということになりましょうか。

ここで気をつけてもらいたいのは、浮気相手が１８歳未満の未成年者の場合です。
各都道府県には、青少年健全育成条例が定められています。
広島県の場合、１８歳未満の者に、淫行またはわいせつ行為をした者は、1年以下の懲役または５０万円以下の罰金と定められています。
慰謝料を請求して、関係を持っていたと知れれば、逆に条例違反で御用になる可能性が大です。
御用になったときは、自分がそれだけのことをやってしまったのですから、観念するしかなさそうですね。
広島県の条例ですが、参考にご覧になってください。
http://www.pref.hiroshima.lg.jp/soumu/bunsyo/kenhouki/reiki_honbun/ar20004471.html
このような条例が、各都道府県に定められていると思います。

都道府県の条例に抵触しないのであれば、慰謝料請求をしてもよいのではないかと思います。
但し、他の浮気よりも、相当な修羅場になる可能性が大ですが、それを十分覚悟の上やってください。